Graphes et matrices

Pour aller plus loin (Ancien programme) - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Suites de matrices - 1

On considère deux suites \( (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \) et \( (y_n)_{n\in \mathbb{N}} \) définies pour tout entier naturel \( n \) par : \[ \begin{align} x_{n+1} &= - \dfrac{1}{3}x_n -5y_n \\ y_{n+1} &= \dfrac{4}{5}x_n + \dfrac{4}{3}y_n \end{align} \quad \text{ avec } x_0 = -5 \text{ et } y_0 = \dfrac{5}{2} \] Ces relations peuvent s'écrirent sous la forme matricielle : \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad U_{n+1} = A\times U_n \text{ où } U_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} \]

Déterminer la matrice \( A \).
Déterminer la matrice \( U_0 \).
Exprimer \( U_{ 13 } \) en fonction de \( A \) et \( U_{ 7 } \).
Determiner les valeurs de \( x_{3} \) et \( y_{3} \). On donnera le résultat sous la forme d'un couple \( (a;b) \) où \(a \) et \( b \) sont respectivement les valeurs de \( x_{3} \) et \( y_{3} \).

Exercice 2 : Vocabulaire - Graphe non orienté (graphe simple, graphe complet)

On considère le graphe non orienté ci-dessous.

Ce graphe est :

Exercice 3 : Multiplication de matrices dimensions différentes (1x3 x 3x1 ou 3x1 x 1x3)

Soient 2 matrices, \(A = \begin{pmatrix}1 & -3 & 2\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}-6\\-9\\7\end{pmatrix}\).
Calculer \( A \times B \)

Exercice 4 : Donner la matrice d'adjacence d'un graphe orienté et son diamètre.

On considère le graphe orienté ci-dessous.


Donner la matrice d'adjacence ligne-colonne de ce graphe en ordonnant les sommets par ordre alphabétique.

Déterminer son diamètre.

Exercice 5 : Multiplication de matrices ligne et colonne (1x3 x 3x1, avec valeurs littérales)

Soient 2 matrices, \(A = \begin{pmatrix}6 & 2 & x\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}y\\7\\9\end{pmatrix}\).
Calculer \( A \times B \)
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