Pour aller plus loin (Ancien programme) - Spécialité

Graphes et matrices

Exercice 1 : Déterminer une matrice d'adjacence et des chemins

On considère le graphe non orienté ci-dessous.



Déterminer la matrice d'adjacence de ce graphe en ordonnant les sommets dans l'ordre alphabétique.
Quel est le nombre de chemins de longueur 3 partant de E ?
Quel est le nombre de chemins de longueur 5 allant de B à E ?

Exercice 2 : Vocabulaire gaphe non orienté (arête, sous-graphe complet)

On considère le graphe non orienté ci-dessous.


Combien d’arêtes possède ce graphe ?
Existe-t-il un sous graphe complet d'ordre 4 ? Si oui, donner les sommets le composant.
On écrira la réponse sous la forme "A,B,C,D", avec les lettres dans l'ordre alphabétique. Si un tel sous graphe n'existe pas, on écrira "non".

Exercice 3 : Suites de matrices - 1

On considère deux suites \( (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \) et \( (y_n)_{n\in \mathbb{N}} \) définies pour tout entier naturel \( n \) par : \[ \begin{align} x_{n+1} &= - x_n + \dfrac{1}{2}y_n \\ y_{n+1} &= -5x_n - \dfrac{2}{3}y_n \end{align} \quad \text{ avec } x_0 = 1 \text{ et } y_0 = - \dfrac{3}{5} \] Ces relations peuvent s'écrirent sous la forme matricielle : \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad U_{n+1} = A\times U_n \text{ où } U_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} \]

Déterminer la matrice \( A \).
Déterminer la matrice \( U_0 \).
Exprimer \( U_{ 14 } \) en fonction de \( A \) et \( U_{ 2 } \).
Determiner les valeurs de \( x_{3} \) et \( y_{3} \). On donnera le résultat sous la forme d'un couple \( (a;b) \) où \(a \) et \( b \) sont respectivement les valeurs de \( x_{3} \) et \( y_{3} \).

Exercice 4 : Vocabulaire graphe orienté

On considère le graphe orienté ci-dessous.


Quel est l'ordre de ce graphe ?
Ce graphe est-il simple ?
Quel est le degré entrant du sommet \( D \) ?
Quel est le degré sortant du sommet \( F \) ?
Les sommets \( D \) et \( E \) sont-ils adjacents ?
Déterminer une chaîne de longueur 3 reliant les sommets \( A \) et \( E \).
On donnera une réponse de la forme : \(A-B-C\)

Exercice 5 : Matrices au carré (2x2)

Soit la matrice, \(A = \begin{pmatrix}-3 & -5\\-5 & 0\end{pmatrix}\). Calculer \( A^2 \).
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